Hoe te Derivaten zoeken

Sir Isaac Newton was een van de uitvinders van het berekenen van derivaten. Hulton Archief / Getty Images News / Getty Images

Eén van de belangrijkste handelingen die u doet in calculus is het vinden van derivaten.De afgeleide van een functie wordt ook wel de mate van verandering van die functie.Bijvoorbeeld, als x (t) is de positie van de auto op elk tijdstip t, dan is de afgeleide van x, dat wordt geschreven dx / dt is de snelheid van de auto.Ook kan het derivaat worden gevisualiseerd als de helling van de raaklijn aan de grafiek van een functie.Op theoretisch niveau, dit is hoe wiskundigen vinden derivaten.In de praktijk, wiskundigen gebruiken sets van basisregels en opzoektabellen.

het derivaat als Helling

  • De helling van een lijn tussen twee punten is de opkomst, of het verschil in y-waarden, gedeeld door de run, of het verschil in x-waarden.De helling van de functie y (x) voor een bepaalde waarde van x wordt bepaald aan de helling van een lijn die raakt aan de functie op het punt [x, y (x)].Om de helling te berekenen u een lijn tussen het punt [x, y (x)] en

    een nabijgelegen punt [x + h, y (x + h)], waarbij h is een zeer klein aantal te bouwen.Voor deze lijn, de run, of een verandering in x-waarde is h, en de opkomst, of een verandering in y-waarde, is y (x + h) - y (x).Bijgevolg hellingsgraad van y (x) in het punt [x, y (x)] is bij benadering gelijk aan [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y (x + h) - y (x)] / h.Om de helling precies krijgt, de waarde van de helling berekenen h kleiner en kleiner wordt, de "limiet" wanneer het gaat naar nul.De berekende curve aldus de afgeleide van y (x), die wordt geschreven als y '(x) of dy / dx.

De afgeleide van een Power functie

  • U kunt de helling / limiet methode gebruiken om de afgeleiden van functies waarbij y gelijk x om de kracht van een of y (x) = x ^ een berekenen.Bijvoorbeeld, als x gelijk is aan y blokjes, y (x) = x ^ 3, dan dy / dx is de limiet h naar nul van [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h.Uitbreiding van (x + h) ^ 3 geeft [x ^ 3 + 3x ^ 2u + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, die reduceert tot 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 nadat u verdelendoor h.In de limiet h naar nul, alle termen die h in hen gaan ook naar nul.Dus, y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2.U kunt dit doen voor de waarden van een andere dan 3, en in het algemeen, kan je dat d / dx (x ^ a) = vertonen (a - 1) x ^ (a-1).

Afgeleide Van een Power Series

  • Veel functies kunnen worden geschreven als wat worden genoemd een power serie, die de som van een oneindig aantal termen zijn, waarbij elk van de vorm C (n) x ^ n,waarbij x een variabele n is een geheel getal en C (n) een specifiek nummer voor elke waarde van n.Bijvoorbeeld, de machtreeks de sinusfunctie is Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., waarin "..." betekent termen verder optot het oneindige.Als u weet dat de kracht serie voor een functie, kunt u de afgeleide van de kracht x ^ n gebruiken om afgeleide van de functie te berekenen.Bijvoorbeeld, de afgeleide van sin (x) gelijk is aan 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., die toevallig de machtreeks voor Cos zijn (x).

Derivaten Van Tabellen

  • De derivaten van basisfuncties zoals machten als x ^ een, exponentiële functies, log functies en trig functies worden gevonden met behulp van de piste / limiet methode, de kracht serie methode of andere methodes.Deze derivaten worden vervolgens opgenomen in tabellen.Bijvoorbeeld, kan je omhoog kijkt, dat de afgeleide van Sin (x) cos (x).Wanneer complexe functies zijn combinaties van de basisfuncties, je speciale regels, zoals de keten regel en product regel, die ook in de tabellen nodig.Bijvoorbeeld, de kettingregel gebruiken bij het vinden dat de afgeleide van sin (x ^ 2) is 2xCos (x ^ 2).U gebruikt het product regel te vinden dat de afgeleide van xSin (x) is xCos (x) + sin (x).Met behulp van tabellen en eenvoudige regels, kunt u de afgeleide van een functie te vinden.Maar wanneer een functie is bijzonder complex, wetenschappers soms toevlucht tot computerprogramma's voor hulp.

Resources

  • Wolfram Alpha: Online Afgeleide Calculator
  • Paul's Online Math Opmerkingen: Calculus 1
940
0
1
College