Hvordan at finde alle de nuller af en funktion

Når du finder alle de nuller i et polynomium funktion, får du de værdier af x, der gør funktionen f (x) lig med nul.Et nul kan være et reelt eller komplekst tal.Til tider kan finde alle de nuller af funktioner, der har en grad af 3 eller højere være en kedelig opgave.Du bør oprette en plan til at nedbryde disse højere grad polynomiumfunktioner i brugbare faktorer.

Forstå Teknik finde Zeros af en funktion

  1. Oplev det samlede antal rødder af en funktion ved at bruge naturlig følge den grundlæggende sætning af algebra, hvori det hedder, at enhver polynomium af grad n har præcis n totalrødder eller nuller for en funktion.Dette fortæller os ikke, om disse nuller er alle reelle tal.

  2. Bestem det maksimale antal mulige reelle rødder ved at bruge Descartes 'regel af tegn.For en funktion f (x), tælle antallet af ændringer tegn for x vilkår.Dette er det maksimale antal, men kan ikke være det faktiske antal mulige positive reelle rødder eller nuller.For at finde alle muligheder reducere dette antal ved mul

    tipla af 2, indtil resultatet er negativt.Du bestemmer de mulige negative reelle rødder ved at finde f (-x) og derefter bestemmelse af nuller på samme måde som ovenfor (se Resources).

  3. Påfør den rationelle rod sætning, hvori det hedder, at et polynomium med førende koefficient A og konstant sigt C kan have rationelle rødder eller nuller af formen ± p / q hvor p er en faktor C og q er en faktor A.Det fortæller os ikke, som er de faktiske rødder.

  4. Brug syntetisk division til at finde, hvilken en af ​​de mulige rationelle rødder er en faktiske rod.Du skal først vælge en mulig rationel rod ± p / q på listen i trin 3. Brug derefter syntetisk division (se Resources).Hvis en rod er kompliceret så er du nødt til at finde roden ved proceduren i trin 5.

  5. Find de resterende rødder kvadratiske ligninger, som ikke er factorable ved at bruge den kvadratiske formel.For en andengradsligning i sin standard form ax² + bx + c = 0, formlen er x = [-b ± sqrt (b²-4ac)] / 2a.Bemærk, at du kan bruge den andengradsligning til også at finde factorable kvadratiske ligninger.

Find alle Zeros af en funktion

  1. Brug polynomiet funktion f (x) = 3x³-8x² + 5x-2 som et eksempel og bruge den teknik er skitseret i afsnit 1 for at finde de nuller eller rødder.Første kig på graden af ​​polynomiet, er det 3 så der er præcis 3 nuller eller rødder til denne funktion.De kan være reelle eller komplekse nuller.

  2. Start med den venstre side af ligningen for eksempel i trin 1 og bruge Descartes 'regel af tegn til at tælle antallet af ændringer tegn for x vilkår;der er 3 fortegnsskift.Træk 2 fra dette nummer (3-2) for at få en, så der er enten 3 eller 1 rigtig positive rødder eller nuller til denne funktion.Nu finder de negative reelle rødder ved at bestemme f (-x).For eksempel i trin 1, f (-x) = 3 (-x³) -8 (-x²) 5 (-x) -2 = -3x³-8x² -5x-2.Her er der ingen fortegnsskift så der er ingen negative reelle rødder eller nuller.

  3. Påfør den rationelle rod teorem til ligningen af ​​eksemplet 3x³-8x² + 5x-2 og find ± p / q.Først finde de faktorer, den konstante sigt 2, som er 1, 2. Derefter finde de faktorer, den førende koefficienten 3, som er 1 og 3. De mulige rationelle rødder ± p / q er ± 1, ± 2, ± 1/3,og ± 2/3.

  4. Find en egentlig roden af ​​eksempel ved først at vælge en rationel rod fra listen i trin 3 og derefter bruge proceduren for syntetisk division (se Resources nedenfor).Du får at 2 er den eneste rationelle rod eller nul, og at (x-2) er en faktor.Så polynomiet faktorer i (x-2) X (3x²-2x + 1).

  5. sæt (x-2) X (3x²-2x + 1) = 0 og løse (x-2) = 0 for at få x = 2.Derefter løse (3x²-2x + 1) = 0.Use den kvadratiske formel fra § 1, trin 5 for at finde de sidste to nuller af funktion, fordi (3x²-2x + 1) er ikke factorable.Komplekset pair [1 + i (√2)] / 3 og [1-I (√2)] / 3 er de endelige to nuller i funktion.Nuller af polynomiet funktion 3x³-8x² + 5x-2 er x = 2, x = [1 + i (√2)] / 3 og x = [1-i (√2)] / 3.Dette er løsningen på dette problem.

Ressourcer

  • Her er information om Descartes 'regel og syntetisk division.
515
0
0
Gymnasium