Sådan Find Derivater

Sir Isaac Newton var en af ​​opfinderne af beregning derivater. Hulton Arkiv / Getty Images Nyheder / Getty Images

Et af de vigtige handlinger, du gøre i calculus er at finde derivater.Den afledte af en funktion kaldes også ændringshastigheden af ​​denne funktion.For eksempel, hvis X (t) er positionen af ​​en bil på ethvert tidspunkt t, derefter differentialkvotienten af ​​x, der er skrevet dx / dt, er hastigheden af ​​bilen.Desuden kan derivatet visualiseres som hældningen af ​​tangenten til grafen for en funktion.På et teoretisk niveau, det er sådan matematikere finder derivater.I praksis matematikere bruger sæt grundlæggende regler og opslagstabeller.

Den Afledte som Slope

  • Hældningen af ​​en linje mellem to punkter er stigende, eller forskel i y-værdier divideret med løb, eller forskel i x-værdier.Hældningen af ​​en funktion y (x) for en bestemt værdi af x er defineret til at være hældningen af ​​en linie, der er tangent til funktionen ved punktet [x, y (x)].For at beregne hældningen du konstruere en linje mellem punktet [x, y (x)] og en nærliggen

    de punkt [x + h, y (x + h)], hvor h er et meget lille antal.For denne linje, flugt, eller ændring i x-værdi er H, og stigningen eller ændring i y-værdi, er y (x + h) - y (x).Følgelig hældning y (x) ved punktet [x, y (x)] er tilnærmelsesvis lig med [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y (x + h) - y (x)] / t.For at få hældningen præcis, du beregne værdien af ​​hældningen som h bliver mindre og mindre, til "grænsen", hvor det går til nul.Hældningen beregnet denne måde er differentialkvotienten af ​​y (x), der er skrevet som y '(x) eller dy / dx.

den afledte af en Power Funktion

  • Du kan bruge hældningen / grænse metode til at beregne derivater af funktioner, hvor y lig x for at effekten af ​​et eller y (x) = x ^ a.For eksempel, hvis y er lig x kubik, y (x) = x ^ 3, så dy / dx er grænse h går til nul af [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h.Udvidelse (x + h) ^ 3 giver [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / t, hvilket reducerer til 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 efter du opdelemed h.I grænsen som h går til nul, alle udtryk, der har h i dem også gå til nul.Så y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2.Du kan gøre dette for værdier af en anden end 3, og i almindelighed, kan du vise, at d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Afledte Fra en Power Series

  • Mange funktioner kan skrives som det, der kaldes en magt serie, som er summen af ​​et uendeligt antal udtryk, hvor hver er af formen C (n) x ^ n,hvor x er en variabel, n er et helt tal og C (n) er et bestemt antal for hver værdi af n.For eksempel, potensrækken for funktionen sinus Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., hvor "..." betyder Betingelser fortsætter påtil uendeligt.Hvis du kender magt serien for en funktion, kan du bruge differentialkvotienten af ​​strømmen x ^ n til at beregne funktionens afledede.For eksempel differentialkvotienten af ​​sin (x) er lig med 1 - x ^ 2/2 + x ^ 24/04 - x ^ 6/720 + ..., hvilket sker for at være magt serien for Cos (x).

Derivater fra tabeller

  • De derivater af grundlæggende funktioner såsom beføjelser som x ^ a, eksponentielle funktioner, log funktioner og trigonometriske funktioner, der findes ved hjælp af hældningen / grænse metode, magt serien metode eller andre metoder.Disse derivater er derefter anført i tabeller.For eksempel kan du se op, at differentialkvotienten af ​​Sin (x) er Cos (x).Når komplekse funktioner er kombinationer af de grundlæggende funktioner, du har brug for særlige regler såsom kæden reglen og produkt regel, som også anført i tabellerne.For eksempel, du bruger kæden regel at finde, at differentialkvotienten af ​​Sin (x ^ 2) 2xCos (x ^ 2).Du bruger produktet regel at finde, at differentialkvotienten af ​​xSin (x) er xCos (x) + sin (x).Brug tabeller og enkle regler, kan du finde den afledede af enhver funktion.Men når en funktion er yderst kompliceret, forskerne nogle gange ty til edb-programmer for at få hjælp.

Ressourcer

  • Wolfram Alpha: Online Derivative Calculator
  • Pauls Online Math Noter: Calculus 1
920
0
1
Kollegium